Dit is een aanvulling op het boek Genoeg van reclame, waarin het onderwerp van de titel voor een nog beter begrip en verdieping van kennis nader uiteengezet wordt.
Appendix 4 – De klassieke utiliteitstheorie versus Prospect theory
In mijn boek ‘Genoeg van reclame’ speelt het begrip nut (of utititeit) een grote rol. Het is een moeilijk en abstract begrip dat voor de meeste lezers verheldering nodig heeft. Vandaar dit uitstapje naar de klassieke utitliteitstheorie ( van Bernoulli) en de Prospect theory (van Kahneman en Tverski).
Stel dat Hans en Grietje vandaag allebei 5 miljoen bezitten. Volgens de klassieke utiliteitstheorie hebben ze dan dezelfde utiliteit. Maar stel je eens voor dat Hans gisteren 1 miljoen had en Grietje 9 miljoen. Zijn ze dan nog even gelukkig? (Hebben ze in zo’n geval dezelfde utiliteit?) Je hoeft niet veel mensenkennis te hebben om te weten dat Hans vandaag uit zijn dak gaat en Grietje enorm zit te balen. We weten zelfs dat Hans heel wat gelukkiger zou zijn dan Grietje in het geval dat hij vandaag maar 2 miljoen bezat en zij 5. Het geluk dat Hans en Grietje ervaren, wordt bepaald door de recente verandering in hun rijkdom, ten opzichte van de verschillende toestanden van die rijkdom die hun referentiepunten uitmaken (1 miljoen voor Hans en 9 voor Grietje). Deze afhankelijkheid van een referentiepunt is kenmerkend voor al onze sensaties en percepties, zoals eenzelfde geluid als zeer hard of heel zwak wordt ervaren al naargelang het werd voorafgegaan door gefluister of geschreeuw.
Voor een ander voorbeeld van wat in de theorie van Bernoulli over het hoofd wordt gezien, kunnen we kijken naar Kees en Ans:
Op dit moment bezit Kees 1 miljoen.
Op dit moment bezit Ans 4 miljoen.
Ze krijgen allebei een keuze aangeboden tussen een gok en een zekerheid.
De gok: gelijke kansen om 1 miljoen of 4 miljoen te bezitten.
of
De zekerheid: 2 miljoen bezitten.
In de voorstelling van Bernoulli staan Kees en Ans voor dezelfde keuze: hun verwachte rijkdom zal 2,5 miljoen bedragen als ze ingaan op de gok en 2 miljoen als ze kiezen voor de zekerheid. Bernoulli zou daarom verwachten dat Kees en Ans dezelfde keuze zullen maken, maar die voorspelling klopt niet. Ook in dit geval faalt zijn theorie omdat hij geen rekening houdt met de verschillende referentiepunten van waaruit Kees en Ans hun keuzemogelijkheden onder ogen zien. Als je je verplaatst in de posities van Kees en Ans, zie je al snel dat bestaande rijkdom een belangrijke rol speelt. Je kunt je voorstellen dat Kees en Ans daarom waarschijnlijk verschillende keuzes zullen maken omdat het met zekerheid aangeboden alternatief 2 miljoen te bezitten Kees gelukkig maakt en Ans ongelukkig. Bernoulli’s model is weliswaar in staat Kees’ afkeer van risico’s te verklaren, maar niet om Ans’ riskante voorkeur voor de gok te verklaren.
Kahneman en Tversky kwamen met een beslissend tegenvoorbeeld tegen de theorie van Bernouilli en ontwierpen de zogenaamde prospecttheorie, een theorie die door economen nu als het voornaamste alternatief van de utiliteitstheorie wordt geaccepteerd.
Probleem 1: in aanvulling op wat je al bezit, krijgt je 1000 euro. Je wordt nu gevraagd om uit een van de volgende mogelijkheden te kiezen: 50 procent kans om 1000 euro te winnen of met zekerheid 500 euro krijgen.
Probleem 2: in aanvulling op wat je al bezit, krijgt je 2000 euro. Je wordt nu gevraagd om een van de volgende mogelijkheden te kiezen: 50 procent kans om 1000 euro te verliezen of met zekerheid 500 euro verliezen.
De problemen 1 en 2 zijn in termen van uiteindelijke toestanden van rijkdom – het enige dat er in de theorie van Bernoulli op aankomt – identiek. In beide gevallen heeft men een keuze tussen dezelfde twee opties: men kan kiezen voor de zekerheid om 1500 euro rijker te worden dan men op dat moment is, of ingaan op een gok waarbij men gelijke kansen heeft om 1000 of 2000 euro rijker te worden. In de theorie van Bernoulli zouden de twee problemen dus gelijke voorkeuren moeten oproepen. Toch gaf in dit experiment bij de eerste keuze een grote meerderheid van de respondenten de voorkeur aan zekerheid, terwijl bij de tweede keuze een grote meerderheid de voorkeur gaf aan de gok. Mensen winnen graag en verliezen niet graag en daarbij is het zo dat ze een grotere afkeer hebben van verliezen dan een verlangen om te winnen. Om in verhoudingen te spreken: voor de meeste mensen[ Daniel Kahneman, Thinking, fast and slow, (Londen, Random House, 2011), p. 284] is de angst om 100 euro te verliezen sterker dan de hoop op het winnen van 150 euro.
Menselijke attitudes ten opzichte van risico’s hebben overigens ook de aandacht getrokken van het vakgebied neuro-economie en gedragseconomie. Een studie van 2009 door Christopoulos et al. suggereerde dat de activiteit van een specifiek hersengebied (right inferior frontale gyrus) correleert met risicomijding, waarbij meer risicoafhankelijke deelnemers (diegenen met hogere risicopremies) ook hogere responsen hebben op veiligere opties[ Christopoulos GI, Tobler PN, Bossaerts P, Dolan RJ, Schultz W (2009). Neurale correlaten van waarde, risico en risicomijding dragen bij tot besluitvorming onder risico. J Neurosci. 26 (24): 6469-6472.].
In het midden van de 18de eeuw ontdekte de Zwitserse wetenschapper Daniel Bernoulli dat veranderingen in rijkdom niet gemeten moeten worden in eenheden geld, maar in eenheden utiliteit als een psychologische reactie die omgekeerd evenredig is aan de oorspronkelijke hoeveelheid geld (rijkdom), wat leidt tot de conclusie dat utiliteit een logaritmische functie is van rijkdom. Hij betoogde dat een gift van 10 dukaten dezelfde utiliteit heeft voor iemand die al 100 dukaten bezit als een gift van 20 dukaten voor iemand die op dat moment 200 dukaten rijk is. Tegenwoordig is het heel normaal om van inkomensveranderingen in termen van percentages te spreken en van de teruglopen marginale waarde van rijkdom, maar in die tijd was dat een geniale ontdekking. Het idee is dat een opslag van 30 procent bij rijke en arme mensen een overeenkomstige psychologische reactie te weeg zal brengen en dat een opslag van een absoluut bedrag, zeg 100 euro, dat niet zal doen. Keuzes van mensen zijn niet gebaseerd op geldwaarden maar op de psychologische waarden van uitkomsten, hun utiliteiten. Op die manier kon Bernouilli via deze zogenaamde psychofysica onze afkeer van risico verklaren. Hij gebruikte zijn nieuwe begrip van verwachte utiliteit om te berekenen hoeveel geld een koopman in St. Petersburg over zou hebben voor het verzekeren van een scheepslading specerijen uit Amsterdam als ‘hij zich bewust is van het feit dat in dit jaargetijde van de honderd schepen die uit Amsterdam naar Petersburg vertrekken, er gewoonlijk vijf verloren gaan’. Zijn utiliteitsfunctie verklaarde waarom arme mensen zich verzekeren en waarom rijkere mensen zo’n verzekering aan hen verkopen. De armere koopman betaalt er graag een prijs voor om het risico aan de rijke koopman over te dragen, waar het bij een verzekering immers om gaat. Toch was zijn theorie niet helemaal compleet, ontdekten Kahneman en Tversky.[i]
In de klassieke utiliteitstheorie wordt de utiliteit van een winst vastgesteld door de utiliteiten van twee toestanden van rijkdom te vergelijken. De utiliteit van een extra 500 euro wanneer je rijkdom 1 miljoen is, is het verschil tussen de utiliteit van 1.000.500 en de utiliteit van 1.000.000 euro. En bij bezit van de grootste van deze twee bedragen, is de utiliteit opnieuw het verschil tussen de utiliteiten van de twee welvaartsposities.
Dit is een versie van de utiliteitsfunctie die Bernoulli berekende:
Rijkdom (in miljoenen) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Utiliteitseenheden 10 30 48 60 70 78 84 90 96 100
Het toont de utiliteit van verschillende niveaus van rijkdom, van 1 miljoen tot 10 miljoen. Het laat zien dat het toevoegen van 1 miljoen aan een rijkdom van 1 miljoen een toename oplevert van 20 utiliteitspunten, maar het toevoegen van 1 miljoen aan een rijkdom van 9 miljoen slechts een toename van 4 punten. Bernoulli beweerde dat de dalende marginale waarde van rijkdom[ In modern Engels economisch jargon: the diminishing marginal value of wealth.] de verklaring is voor een afkeer van risico’s, dat wil zeggen: de algemene voorkeur die mensen aan de dag leggen voor zekerheid boven een aantrekkelijke gok met een gelijke of licht hogere verwachte waarde. Kijk maar eens naar de volgende keuze:
Gelijke kansen op 1 miljoen of 7 miljoen Utiliteit: (10 * 84)/2 = 47
of
Zekerheid van 4 miljoen Utiliteit: 60
De verwachte waarde van de gok en de zekerheid zijn in dukaten gelijk (4 miljoen), maar de psychologische utiliteiten van de twee opties verschillen vanwege de dalende utiliteit van rijkdom: inde tabel zien we dat de toename van utiliteit van 1 tot 4 miljoen 50 eenheden is, maar een gelijke toename, van 4 tot 7 miljoen, verhoogt de utiliteit van rijkdom slechts met 24 eenheden.
De utiliteit van de gok is 94/2 = 47, te weten de utiliteit van de twee uitkomsten, elk gewogen door de waarschijnlijkheid van een half, terwijl de zekerheid van 4 miljoen een utiliteit vertegenwoordigt van 60.
Omdat 60 meer is dan 47, zal iemand aan de hand van deze utiliteitsfunctie de zekerheid verkiezen. Wat Bernoulli inzag, was dat iemand met een teruglopende marginale utiliteit voor rijkdom een afkeer van risico zal hebben.
In deze theorie kunnen de utiliteiten van winst en verlies alleen maar verschillen in hun teken (+ of-). Er is geen mogelijkheid om rekening te houden met het feit dat de disutiliteit van een verlies van 500 euro wel eens groter zou kunnen zijn dan de utiliteit van een winst van hetzelfde bedrag. De klassieke utiliteitstheorie maakte dus geen onderscheid tussen verlies en winst. Daardoor werd weliswaar een verlies-aversie verklaart, maar niet het omgekeerde, dat rijke mensen de neiging hebben een riskante voorkeur te hebben voor gokken, gedrag dat bij ondernemers en generaals vaak wordt waargenomen als hun opties onaantrekkelijk zijn. Kahneman en Tversky brachten daar verandering in. (zie appendix X lezen: Loss aversion and Risk Prone – under construction.)
[i] Kahneman, D. and Tversky, A. (1979), Prospect theory: An analysis of decision under risk. Econometrica 47, pp. 263 – 291Kahneman, D. and Tversky, A. (1984), Choices, Values, and Frames. American Psychologist 39(4), pp. 341 – 350Tversky, A. and Kahneman, D. (1981), The Framing of Decisions and the Psychology of Choice. Science 211, pp. 453 – 458Tversky, A. and Kahneman, D. (1986), Rational Choice and the Framing of Decisions, Journal of Business 59 (4), pp. 251 – 278